by Unknown
15 Januari 2016
GRAFIK KOMPUTER DAN OLAH CITRA
“TRANSFORMASI GEOMETRIK 2 DIMENSI”
Kelompok 4
3KA29
1. Debi Fajrianingrum (12113092)
2. Fatma Intan S (13113311)
3. Sandra Bella M (18113226)
FAKULTAS
ILMU KOMPUTER DAN TEKNOLOGI INFORMASI
JURUSAN
SISTEM INFORMASI
UNIVERSITAS
GUNADARMA
2015/2016
BAB
I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Geometri
transformasi merupakan suatu bab yang membahas mengenai perpindahan suatu titik
pada bidang dimensi dua atau datar.transformasi meliputi
refleksi,rotasi.,translasi. pada makalah ini dikususkan membahas mengenai
geometri transformasi pada bidang euclides. Oleh karena itu akan mengakibatkan
aksioma khususnya axioma euclides. Semoga makalah ini dapat membantu dan
memperjelas lebih jauh hal-hal yang berkaitan sengan geometri transformasi
khususnya pada bidang dimensi dua.
B. Tujuan
1.
Menyelesaikan tugas mata kuliah geometri
transformasi.
2.
Melatih kerjasama dalam kelompok.
3.
Mengetahui lebih jelas mengenai jenis
transformasi.
BAB
II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Transformasi
Transformasi
pada bidang V adalah fungsi bijektif (satu-satu dan pada) dari V ke V. Fungsi
yang bijektif adalah fungsi yang bersifat :
1.
Surjektif ( kodomain harus punya
pasangan di domain /kepada) Artinya bahwa pada tiap titik B V ada prapeta.jadi
jika T suatu transformasi maka ada A V sehingga B = T(A). sedemikian sehingga T
(A) = B.
2.
Injektif ( korespondensi satu-satu )
Artinya jika A1 ≠ A2 dan T (A1) = B1 , T(A2) = B2 maka B1 ≠ B2. Jika A1 A2, T(A1)
= B1, T(A2) = B2 maka B1 B2.
B. Macam-macam Transformasi:
1.
Transformasi Objek, yang
ditransformasikan titik-titik yang menyusun objek tersebut.
2.
Transformasi Koordinat, yang diubah
system korrdinatnya sehingga objek mengalami transformasi dikarenakan perubahan
system korrdinat tersebut.
C. Tujuan Transformasi
1.
Merubah atau menyesuaikan komposisi
pandangan.
2.
Memudahkan membuat objek yang simetris.
3.
Melihat objek dari sudut pandang
berbeda.
4.
Memindahkan satu atau beberapa objek
dari satu tempat ke tempat lain, biasanya digunakan pada animasi computer.
Axioma
euclidies
Sebuah bidang V kita
anggap sebagai bidang euclides, artinya himpunan titik-titik V diberlakukan
sistem aksioma euclides.( Axioma euclides yaitu : apabila ada dua garis a dan b
dipotong garis ketiga c di titik A a dan titik B b sehingga jumlah besarnya dua
sudut dalam sepihak di A dan di B kurang dari 180° maka a dan b akan berpotongan
pada bidang yang terbagi oleh garis c yang memuat kedua sudut dalam sepihak
itu.
D. Jenis – jenis Transformasi
Jenis-jenis
transformasi yang dapat dilakukan antara lain :
1.
Translasi (Pergeseran) merupakan operasi
yang menyebabkan perpindahan objek 2D dari satu tempat ke tempat lain.
Perubahan ini berlaku dalam arah yang sejajar sumbu X dan sumbu Y. Dilakukan
dengan penambahan koordinat pada suatu titik koordinat dengan translation
vector atau shift vector, yaitu T(tx,ty). Koordinat baru titik yang ditranslasi
dapat diperoleh dengan menggunakan rumus :
x’ = x
+ tx
y’ = y + ty
(x,y) : titik asal sebelum translasi
(x’,y’) : titik baru hasil translasi
Contoh:
Untuk menggambarkan translasi suatu objek
segitiga dengan koordinat A(10,10), B(30,10) dan C(10,30) dengan tx,ty(10,20),
tentukan koordinat barunya
Jawab:
A : x’ = 10+10 = 20 || y’ = 10+20 = 30 || A’ = (20,30)
B : x’ = 30+10 = 40 || y’ = 10+20 = 30 || B’ = (40,30)
C : x’ = 10+10 = 20 || y’ = 30+20 = 50 || C’ = (20,50)
Jalur
yang direpresentasikan oleh vector disebut translasi atau Vektor Geser.
Pergeseran tersebut dapat ditulis :
Untuk merepresentasikan translasi dalam matriks 3x3
kita dapat menulisnya :
2. Penskalaan
merupakan perubahan ukuran suatu objek. Koordinat baru diperoleh dengan
melakukan perkalian koordinat dengan scaling factor, yaitu(sx,sy) dimana sx
adalah scaling factor untuk sumbu x dan sy adalah scaling factor untuk sumbu y.
Koordinat baru titik yang diskala dapat diperoleh dengan:
x’ = x.sx
y’= y.sy
Scaling factor sx dan sy dapat diberikan sembarang
nilai positif. Nilai lebih dari 1 menandakan bahwa sebuah objek diperbesar
sedang nilai nilai kurang dari 1 menunjukkan bahwa objek diperkecil.
Penskalaan
koordinat dimaksudkan untuk menggandakan setiap komponen yang ada pada objek
secara skalar.
Keseragaman penskalaan berarti skalar yang digunakan sama untuk
semua komponen objek.
Operasi Skala:
Atau dalam bentuk matriks:
Contoh:
3.
Rotasi
(Perputaran) adalah mereposisi semua titik dari objek sepanjang jalur lingkaran
dengan pusatnya pada titik pivot. Memindahkan sebuah objek menurut garis
melingkar. Diperlukan sudut rotasi a’ dan pivot point(xp,yp). Nilai positif
dari sudut rotasi menentukan arah rotasi berlawanan dengan arah jarum jam.
Sedangkan sudut rotasi negative memutar objek searah dengan jarum jam. Rotasi
suatu titik terhadap pivot point (xp,yp) :
x’
= xp + (x – xp) cos θ – (y – yp) sin θ
y’
= yp + (x – xp) sin θ – (y – yp) cos θ
Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan
matriks:
Dimana:
·
sin(θ)
dan cos(θ) adalah fungsi linier dari θ,
·
x’
kombinasi linier dari x dan y,
·
y’
kombinasi linier dari x and y
Contoh:
Untuk menggambarkan rotasi suatu objek segitiga dengan
koordinat A(10,10), B(30,10) dan C(10,30) dengan sudut rotasi 30 derajat
terhadap titik pusat kartesian (10,10), dilakukan dengan menghitung koordinat
hasil rotasi tiap titik satu per satu.
Jawab:
x’
= xp + (x – xp) cos θ – (y – yp) sin θ
= 10 + (10 – 10) * 0.9 – (10-10) * 0.5 = 10
y’
= yp + (x – xp) sin θ – (y – yp) cos θ
= 10 + (10 – 10) * 0.5 – (10 – 10) * 0.9 =
10
Titik
A’ (10,10)
x’
= xp + (x – xp) cos θ – (y – yp) sin θ
= 10 + (30 – 10) * 0.9 – (10-10) * 0.5 = 28
y’
= yp + (x – xp) sin θ – (y – yp) cos θ
= 10 + (20 – 10) * 0.5 – (10 – 10) * 0.9 =
20
Titik
B’ (28,20)
x’
= xp + (x – xp) cos θ – (y – yp) sin θ
= 10 + (10 – 10) * 0.9 – (30-10) * 0.5 = 0
y’
= yp + (x – xp) sin θ – (y – yp) cos θ
= 10 + (10 – 10) * 0.5 – (30 – 10) * 0.9 =
28
Titik
A’ (0,28)
Contoh Lain dari Rotasi:
KOORDINAT
HOMOGEN
Koordinat
Homogen adalah representasi koordinat 2 dimensi dengan 3 vektor.
System
koordinat homogenya adalah system koordinat yang mempunyai satu dimensi lebih
tinggi dari system korrdinat yang ditinjau. Digunakan untuk menyatakan semua
proses transfromasi dengan perkalian matriks termasuk pergeseran.
TRANSFORMASI GABUNGAN
Kita dapat
merepresentasikan 3 transformasi dalam sebuah matriks tunggal.
·
Operasi
yang dilakukan adalah perkalian matriks.
·
Tidak
ada penanganan khusus ketika mentransformasikan suatu titik : matriks • vector.
·
Transformasi
gabungan : matriks •matriks
Tranformasi
Gabungan :
·
Rotasi
sebagai titik perubahan : translasi –rotasi-translasi.
·
Skala
sebgai titik perubahan : translasi –skala-translasi
·
Perubahan
sistem koordinat : translasi –rotasi –skala
Langkah
yang dilakukan :
·
Urutkan
matriks secara benar sesuai dengan transformasi yang akan dilakukan.
·
Kalikan
matriks secara bersamaan.
·
Simpan
matriks hasil perkalian tersebut (2).
·
Kalikan
matriks dengan vektor dari vertex.
·
Hasilnya,
semua verteks akan ter-transformasi dengan satu perkalian matriks.
Perkalian matriks bersifat asosiatif:
Perkalian matriks tidak bersifat komutatif:
Contoh:
Jika
terdapat objek yang tidak terletak di titik pusat, maka bila akan dilakukan
pen-skala-an dan rotasi,kita perlu mentranslasikan objek tersebut sebelumnya ke
titik pusat baru kemudian dilakukan pen-skala-an atau rotasi, dan terakhir
dikembalikan lagi ke posisi semula.
Rotasikan
sebuah segment garis sebesar 45 derajat dengan endpoint pada titik a !
TRANSFORMASI LAINNYA
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Geometri transformasi
merupakan suatu bab yang membahas mengenai perpindahan suatu titik pada bidang
dimensi dua atau datar. Transformasi meliputi
refleksi,rotasi.dilatasi,translasi. Transformasi dua dimensi adalah suatu model
atau bentuk atau teknik-teknik memindahkan atau mengubah nilai posisi dalam
system koordinat dua dimensi. Pemindahan objek ini dapat diartikan sebagai pemindahan
titik. Macam-macam transformasi yaitu Transformasi Objek dan Transformasi
Koordinat. Jenis-jenis transfromasi : Translasi, penskalaan, dan rotasi.
Koordinat Homogen adalah system koordinat yang mempunyai satu dimensi lebih
tinggi dari system korrdinat yang ditinjau.
Sumber: Gunadarma dan google.com
|
|
|
|